Un extraño patrón 'aleatorio' rige los números primos

Los números primos cercanos entre sí tienden a evitar la repetición de sus últimos dígitos, es decir, un número primo que termina en 1 es menos probable que sea seguido por otro que termina en 1 de lo que cabría esperar de una secuencia aleatoria.

Así lo explica Kannan Soundararajan, de la Universidad de Stanford, que informó del descubrimiento con su colega Robert Lemke Oliver en un documento presentado en el servidor arXiv el 11 de marzo.

A pesar de los números primos se utilizan en una serie de aplicaciones, tales como la criptografía, este sesgo 'anti-igualdad' no tiene ningún uso práctico o incluso ninguna implicación más amplia de la teoría de números, por lo que Soundararajan y Lemke Oliver saben. Pero, para los matemáticos, es a la vez extraño y fascinante.

Una regla clara determina exactamente lo que hace a un número primo: es un número entero que no puede ser dividido exactamente por nada, excepto por 1 y por sí mismo. Pero no hay ningún patrón discernible en la aparición de los números primos. Más allá de lo obvio - después de los números 2 y 5, los números primos no pueden ser pares o terminar en 5 - parece que hay poca estructura que pueda ayudar a predecir dónde aparecerá el próximo número primo.

Como resultado, a los teóricos de números les resulta útil el tratamiento de los números primos como una secuencia 'pseudo-randomizada', como si hubiese sido creada por un generador de números aleatorios.

Pero si la secuencia fuera verdaderamente aleatoria, a continuación, un número primo con el 1 como último dígito debe ser seguida por otro número primo terminado en 1 una cuarta parte de las veces. Eso es porque después del número 5, sólo hay cuatro posibilidades - 1, 3, 7 y 9 - para los últimos dígitos en números primos. Y estos están, en promedio, representados por igual entre todos los números primos, de acuerdo con un teorema demostrado a finales del siglo XIX, uno de los resultados en que se basa gran parte de nuestra comprensión de la distribución de los números primos.

En su lugar, Lemke Oliver y Soundararajan vieron que en los primeros mil millones de números primos, un 1 es seguido por un 1 un 18% de las veces, por un 3 o un 7 cada 30%, y por un 9 un 22% de las veces . Se encontraron resultados similares cuando estudiaron números primos que terminaron en 3, 7 ó 9, pero con repeticiones en los últimos dígitos menos comunes. El sesgo persiste pero lentamente disminuye a medida que se hacen más grandes números.

Los matemáticos fueron capaces de demostrar que el patrón que vieron es válido para todos los número primos, si una prueba ampliamente aceptada pero no probada, llamada la conjetura k-tupla de Hardy-Littlewood, es correcta. Describe la distribución de los pares, triples y grupos principales más grandes con mayor precisión que el supuesto básico de que los números primos se distribuyen de manera uniforme.

ALGUNAS CONFIGURACIONES NO PUEDEN OCURRIR

La idea detrás de esto es que hay algunas configuraciones de números primos que no pueden ocurrir, y que esto hace que otras agrupaciones sean más probables, informa Nature.

Por ejemplo, los números consecutivos no pueden ser ambos primos: uno de ellos es siempre un número par. Así que si el número n es primo, es un poco más probable que n + 2 será el primer número primo que por azar se podría sugerir. La conjetura de k-tupla cuantifica esta observación en una declaración general que se aplica a todo tipo de grupos principales. Y jugando con la conjetura, los investigadores muestran cómo se supone que los dígitos finales repetidos son más raros de lo que el azar podría sugerir.

A primera vista, parecería que esto se debe a que las diferencias entre los números primos de múltiplos de 10 (20, 30, 100, etc.) son desfavorables. Pero el hallazgo se hace mucho más general - y aún más peculiar. Un último dígito del número primo es su resto cuando se divide por 10. Pero los matemáticos encontraron que el sesgo anti-igualdad se cumple para cualquier divisor.

El número 6, por ejemplo. Todos los números primos tienen un resto de 1 ó 5 cuando se dividen por 6 (de lo contrario, serían divisible por 2 o 3) y los dos restos están en promedio igualmente representados entre todos los primos. Sin embargo, los investigadores encontraron que un número primo que tiene un resto de 1 cuando se divide por 6 es más probable que sea seguido por uno que tiene un resto de 5 que por otro que tiene un resto de 1. Desde un punto de vista 6-céntrico, a continuación, las brechas de múltiplos de 6 parecen estar desfavorecidos.

Los investigadores han comprobado los números primos hasta unos pocos billones, pero piensan que tienen que recurrir a la conjetura de k-tupla para demostrar que el patrón persiste.

Sin asumir afirmaciones no probadas como la conjetura de k-tupla y la hipótesis de Riemann muy estudiado-, la comprensión de los matemáticos de la distribución de los números primos se agota. "Lo que sabemos es vergonzosamente poco", dice Oliver Lemke. Por ejemplo, sin asumir la conjetura de k-tupla, los matemáticos han demostrado que los pares de último dígito 1-1, 3-3, 7-7 y 9-9 se producen un número infinito de veces, pero no pueden probar que los otros pares lo hacen. "Contra toda lógica, dado nuestro trabajo, los otros pares deben ser más comunes," dice Oliver Lemke.